Każde "[]" to kolejny wymiar tablicy. Napis jest tablicą. Przechowujesz tablicę napisów - czyli dwa wymiary. Określanie wielkości tablicy odgórnie jest zbędne, jeśli nie jest wykorzystywane później do niczego innego - jeśli jest, to po prostu popraw "[ILE_KLAS]" na "[ILE_KLAS + 1]" (bo zakładam, że rozmiar się nie zgadza przez to, że masz tam jeszcze "Brak").
Więc
new Race[ILE_KLAS + 1][] = { "Brak", "Czarodziej", "Druid", "Paladyn", "Zabojca", "Nekromanta", "Wojownik", "Ninja", "Lowca"}
lub
new Race[][] = { "Brak", "Czarodziej", "Druid", "Paladyn", "Zabojca", "Nekromanta", "Wojownik", "Ninja", "Lowca"}